Abstract
DOI: http://doi.org/10.26333/sts.xxxii2.02
Badania nad podstawami matematyki przyniosły w ostatnich dziesięcioleciach wyniki, które wydają mi się ciekawe nie tylko dla nich samych, lecz także z uwagi na wnioski, jakie płyną z nich w odniesieniu do tradycyjnych problemów filozoficznych dotyczących natury matematyki. Same wyniki są dość szeroko znane, mimo to jednak sądzę, że warto raz jeszcze przedstawić je w zarysie, zwłaszcza w obliczu faktu, że dzięki pracy szeregu matematyków zyskały one znacznie doskonalszą formę, niż miały pierwotnie. Największy postęp, mający decydujące znaczenie dla tych wyników, stał się możliwy dzięki precyzyjnemu zdefiniowaniu pojęcia skończonej procedury.
Definicję taką można uzyskać na różne sposoby, które w efekcie dają dokładnie to samo pojęcie. Najbardziej zadowalający sposób polega moim zdaniem na sprowadzeniu pojęcia skończonej procedury do pojęcia maszyny o skończonej liczbie części, co uczynił brytyjski matematyk Turing. Co do filozoficznych konsekwencji wspomnianych wyników, nie sądzę, by kiedykolwiek należycie je przedyskutowano, czy choćby zwrócono na nie uwagę.
References
Carnap, R. (1935). Formalwissenschaft und Realwissenschaft. Erkenntnis, 5, 30–37.
Carnap, R. (1937). The logical syntax of language, Oxford: Harcourt, Brace.
Bernays, P. (1935). Sur le platonisme dans les mathématiques. L’Enseignement Mathématique, 34, 52–69.
Bernays, P. (1935b). Quelques points essentiels de la métamathématique. L’Enseignement Mathématique, 34, 70–95.
Bernays, P. (1941). Sur les questions métodologiques actuelles de la théorie hilbertienne de la démonstration. W : F. Gonseth (red.), Les Entretiens de Zurich sur les fondements el la méthode des sciences malhématiques, 6-9 décembre 1938 (s. 144–152). Zurich: Leemann.
Darboux, G. (1912). Éloges académiques et discours. Paris: Librairie scientifique A. Hermann et fils.
Gentzen, G. (1937). Unendlichkeitsbegriff und Widerspruchsfreiheit der Mathematik. Actualités scientifiques et industrielles, 535, 201–205.
Gödel, K. (1995). Some Basic Theorems on the Foundations of Mathematics and Their Implications. W: S. Feferman i in. (red.), Kurt Gödel: Collected Works, Vol. III (s. 304–323). Oxford: Oxford University Press.
Hahn, H. (1935). Logique, mathématiques et connaissance de la réalité. Actualités scientifiques et industrielles, 226.
Hilbert, D., Bernays, P. (1934). Grundlagen der Mathematik, Vol. I. Springer, Berlin.
Menger, K. (1930). Der Intuitionismus. Blätter für deutsche Philosophie, 4, 311–325.
Ramsey, F. P. (1926). The Foundations of Mathematics. Proceedings of the London Mathematical Society, s2–25(1), 338–384.
Rosser, B. (1936). Extensions of Some Theorems of Gödel and Church, The Journal of Symbolic Logic, 1(3), 87–91.